小柯的文章貼簿

只要有學過因倍數的同學應該都知道：假如兩個正整數，
除了１之外沒有其他的公因數，那我們就稱這兩個正整數
互質。如果是三個正整數中任意兩個數都互質，就稱這三
個正整數兩兩互質。現在我們要問的是：三個連續奇數一定會兩兩互質
嗎？在回答這個問題之前，必須先建立幾個觀念：
1.一個奇數的所有因數，必定也是奇數。這是因為奇
數無法被2 整除，當然奇數的因數也無法被2 整除。例
如21 的正因數有1、3、7、21，它們都是奇數。
2.兩個以上的正整數，每一個數都是其最大公因數的
倍數。例如12 與18 的最大公因數為6，所以12 與18
皆是6 的倍數。
3.如果有兩個數皆為某數ｋ的倍數，那這兩個數的差
也一定是某數ｋ的倍數。例如27 是3 的倍數，36 也是3
的倍數，所以27 與36 的差是9，也一定是3 的倍數。
有了這些觀念，我們就可以開始探討了。首先來看任
意兩個連續奇數的差為2，所以2 為這兩個奇數最大公因
數的倍數，反過來說，這兩個奇數的最大公因數是2 的
因數，可能為1 或2。但是兩個奇數的最大公因數必為奇
數， 2 不符合條件，所以兩數的最大公因數為1，由此
可知，任意兩個連續奇數必定互質。
接下來看三個連續奇數中，間隔一個奇數的兩奇數的差為
4，而4 為這兩個奇數最大公因數的倍數，反過來說，這
兩個奇數的最大公因數是4 的因數，可能為1、2 或4。
同樣地，此兩數的最大公因數必為奇數，4 的因數中只有1 符合條件，由此可推
得，三個連續奇數中，間隔一個奇數的兩奇數必定互質。
現在我們可以肯定地回答：三個連續奇數一定會兩兩互質。

同學們，不曉得你是否有觀察過，蜜蜂的窩都是六角形的格子
形狀，排列十分整齊。很早以前的人就發現蜂窩的形狀呈現這
種奇妙的六角形。後來數學家發現：用正多邊形去鋪滿整個平
面，這樣的正多邊形只有三種：正三角形、正方形和正六邊形。
如果使用同樣多的材料去鋪排，其中又以正六邊形可以得到最
大的容積。工蜂建造的蜂巢是嚴格的六角柱狀體。其一端是六角形開
口，另一端則是封閉的六角棱錐體的底，由3 個相同的菱形組
成。十八世紀初，有學者測量過蜜蜂的蜂窩的尺寸，發現一個
有趣的規律，那就是這3 個相同的菱形的角，都有一致的規
則，其鈍角等於109 度28 分，銳角等於70 度32 分。而蜜蜂
製作蜂窩的材料全靠自身分泌的珍貴蜂蠟，所以有科學家猜
想，這樣的形狀是不是最節省材料，而又可創造出最大的容積
呢？所以1712 年瑞士數學家Samuel Konig 證明出最省材料
的形狀是：組成底盤的菱形鈍角及銳角分別是109 度26 分 和
70 度34 分，這與蜂窩的角度相差僅2 分。而更令人驚訝的是，
後來又有數學家重新計算一次，發現原有兩分的角度誤差是引
用數據錯誤所造成，也就是說蜂窩的形狀完全符合最節省材
料，而又可創造出最大容積的需求。
因此，蜜蜂不僅懂得利用正多邊形來鋪滿平面的道理，又
從中選擇了最經濟有效的結構方式，實在令人不得讚嘆蜜蜂是
自然界的偉大公程師！但是，如果你要問：為什麼蜜蜂知道這
些？可能就只有上帝清楚吧！
後來，許多工程師由蜂窩的形狀得到啟示，像飛機結構專
家為了節省材料，減輕飛機的重量，發明了「蜂窩夾層」。這
種結構的剖面和蜂窩一樣，中間充滿孔洞，外圍包覆著金屬
板。這種板子的強度比實心的板子還高，而重量卻少了許多，
又有隔音隔熱的功能，所以這樣的結構也大量應用在建築設計
上喔！就不定你細心一點，就可以在生活周遭發現蜂窩形狀的
痕跡喔。

同學們，假如你有留意的話，應該會發覺一般二月份有28
天，一年有365 天，但每隔四年便會出現一次「閏年」，即二
月份有29 天，一年有366 天。大家可能會有疑問，閏年到底
是如何決定的？
要探討閏年的產生，便要先談到地球的運動。年的制訂是依
照地球的運動而來，我們以地球繞太陽公轉一周所需的時間
定為一年，但是以前的科學家就測出繞太陽公轉一周所需的
實際時間約為365.2422 天。而曆法的一年是365 天,，每一
年會產生約0.2422 天的誤差，每四年會多出約0.9688 天，
大約為一天的時間。所以為了方便以整數的天數計算，又要
兼顧實際的公轉週期，所以曆法學家制定了四年一閏。但是
每四年多一天，仍與0.9688 天有0.0312 天的差距，最後依
西元年份定出了下列的規則：