小柯的文章貼簿

新聞報導指出，國家教育研究院於五月初公布《十二年國民基本教育課程綱要總綱(草 案)》，新課綱之普通高中數學必修時數，將從現行3年24學分大幅刪減為2年12學分，立即引發大學教授們痛批。認為如此不僅將衝擊大學端的教學，甚至還 會降低台灣競爭力。教授們發動連署，數十位各系所教授紛紛支持，理工、醫學、商管等將微積分列為共同必修科目的學院響應熱烈，甚至連完全沒有數學類必修科 的文學院也有不少教授支持。
數學系教授柯文峰表示，數學不僅是科學的基礎，也是一種邏輯思考訓練。尤其，世界各國的課程規畫，都將語文與數學並列為學習的「工具學科」；環顧目前國家發展所需的科學、科技、財經人才，無不需要一定程度的數學素養與知識，這是國家整體競爭力的關鍵。
新聞《星期專訪》於六月報導：九十三位中研院院士最近共同發表公開信，反對十二年國教總綱草案將高中數學的必修課減為十二學分。中研院院士林長壽受訪時指出國家的教育政策要適當地選擇「核心課程」，並且要提供合理的教學時數，讓每位學生學到足夠的基礎知識；尤其是數學，不能填鴨式教學。但教育政策卻是「科科等值」，學校課程包山包海，而且用分數（考試）評量，徒增學生學習的負擔。他並於商周1386期中表示：數學是抽象思考訓練，首重推理，需要老師引導定義加上演練，這都需要時間，時間不夠，只能進行「技術性教學」，學生很會解題，但「概念性訓練」的素養打樁工程就不足。一週四小時是建立數學素養最基本門檻！不能剝奪孩子授教數學基本學科的量。

有受過中學教育的人都知道負數是比０小的數，也
都習慣了包含負數的運算。事實上，一直到十八世紀，許
多歐洲的數學家都還無法接受「負數」的觀念。他們認為
０就表示「什麼都沒有」，所以怎麼會有比「什麼都沒有」
還小的數呢？連當時的大數學家巴斯卡、歐拉也對負數抱
著質疑的態度。印度的數學家在西元七世紀的時候，便知道使用「負
數」的概念，他們把財產表示成「正數」，負債表示成「負
數」，還能進行簡易的正負數加減。
然而「負數」最早出現，是在西元前兩世紀中國的西
漢時代。在那一個時代並沒有計算機，人們都是用一種叫
做『算籌』的工具來計算。在當時，古人就懂得利用黑色
的算籌表示正數，用紅色的算籌表示負數了。
漢代著名的數學書籍《九章算術》中，不但提到了正
負數的概念，同時還明定了正負數的加減運算法則：「同
名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。異名相除，
同名相益，正無入正之，負無入負之。」
前四句是減法法則：
同名相除：m-n = m-n ，(−m) –( −n) = −(m-n)，當m≥n>0
異名相益：m -( −n) = m+n ，(−m) - n = −(m+n)
正無入負之：0-(+m) = −m
負無入正之：0-(−m) = +m
後四句是加法法則：
異名相除：m +( −n) = m-n ，(−m )+ n = −(m-n)，當
m≥n>0
同名相益：m + n = m+n ，(−m) +( −n) = −(m+n)
正無入正之：0+(+m) = +m
負無入負之：0+(−m) = −m
當十八世紀大部分的歐洲數學家都還無法接受「負數」的時候，漢代卻早已
發展出相當完整的負數概念及運 算法則，整整比歐洲進步了兩千年喔！
歐洲一直到十七世紀，法國數學家笛卡兒引進坐標系後，負數獲得了幾何上
的定位，才逐漸被人們認可。十八世紀後，負數在方程式中才逐漸獲得了合理的
地位。一開始負數的表示有多種不同的方式，近代才開始採用現在的正負數符號
形式，如－3，－１，０，＋１，＋５，並發展成為現在使用的正負數。

我們知道在算術運算體系中，乘法和除法是互為逆運算的概念，例如：2 的
3 倍是6，寫成2×3=6；把6 分成3 份，每一份是2，寫成6÷3=2。假如把0 當除
數，例如：6÷0=某數，那麼這個「某數」×0 應該要等於6，否則除法和乘法互
為逆運算的這個法則就會被打破。但是，沒有任何一個數乘以0 會等於6，也就
是說，像
0
6
這樣的數是不存在的。那麼，
0
0
呢？考慮0×3=0 的情況，0÷3=0 是可以的，因為把0 分成3 份，每
一份還是0；但是，0÷0=3 就很奇怪了，因為假如0÷0 可以是3，那麼從0×2=0
的算式中，也可以得到0÷0=2，那麼就會得到2=3 這種奇怪的結果，所以
0
0
在算
術運算體系中，是不被允許的，因此，0 是不能當成除數的。
婆羅摩歷算書
印度數學家婆羅摩笈多（西元598~668 年）是最早提出有關0 的計算規則的數學
家，他曾經寫過四本有關數學和天文學的書，其中最著名的是《婆羅摩歷算書》
（西元628 年），這是目前所知第一部將0 當作一個普通數字來使用的著作，當
中還提到負數的概念及運算、方程、級數、方根，以及著名的圓內接四邊形的面
積公式等。不過婆羅摩笈多認為0÷0=0，這是不對的，另一個數學家摩訶吠羅（西
元800~870 年）曾試圖糾正婆羅摩笈多的錯誤，但沒有成功，後來婆什迦羅第二
（西元1114~1185年）認為 
0
n
，這雖然在另一層意義上有一定的道理（
b
a
的
極限值），但仍然會產生許多矛盾的結果。

「0」這個數字一直被人們稱為阿拉伯數字，但目前的考古資料顯示，它應該誕
生在古代的印度。原本印度人是用一點「．」表示0，後來如何演變成用一個圓
圈表示，已經不可考，目前最早有「0」這個符號出現的紀錄，是在印度的瓜廖
爾石碑上（西元876 年）。據說0 的起源是受到印度佛教大乘空宗的影響，大乘
空宗流行於西元3~6 世紀的古代印度，當印度產生十進位制記數法時，他們把0
稱為Sunya（漢語譯為「舜若」），原意是「空」，也就是什麼都沒有，所以就
用一個圓圈圈表示「一切皆空」。後來印度數字傳到阿拉伯，他們把0 唸成sifr，
阿拉伯人又把印度數字傳到歐洲，有個義大利數學家李奧納多·斐波納契把0 稱
為zefirus（原意是「微弱的西風」，可能是什麼都沒有，就像微風吹過一樣，因
此稱之），後來被義大利人唸成zevero，最後簡化成了zero。瓜廖爾石碑
西元876 年，在印度中央邦最北的一個城市瓜廖爾發現一個石碑，石碑上記載著
貢獻神廟的花圈數量，很清晰可見的用圓圈圈表示0，這是目前發現最早用圓圈
表示0 的紀錄。西元8 世紀以後，印度數字先後傳入阿拉伯世界，再傳到歐洲，
13 世紀初，李奧納多·斐波納契的《算盤書》裏已有包括0 在內的完整的印度數
字的介紹。
「0」這個數字雖然誕生於印度，但最早用符號表示0 的卻未必是印度人…
巴克沙利手稿
西元1881 年夏，在今巴基斯坦西北部距離白沙瓦約80 公里的一個叫巴克沙利的
村莊（該地區古代屬於印度），一個農人在挖地時發現了在樺樹皮上書寫著許多
的文字，經考古學家研究，上面記載的是大約西元前2~3 世紀的數學（也稱耆那
教數學），考古學家把它稱為「巴克沙利手稿」。手稿中出現了完整的十進制數碼，
但是，零卻是用一個實心的點表示。手稿當中還涉及到分數、平方數、數列、比
例、收支與利潤計算、級數求和甚至代數方程等等內容，顯示當時的數學已經相
當發達。這是印度最早有用符號表示0 的紀錄，只是表示的方式是用一個點，而
不是圓圈圈。
中國
中國數學起源於仰紹文化（西元前5000 年~前3000 年），許多陶器都刻有代表數
字的符號，到了商朝（約西元前16 世紀~前11 世紀）的甲骨文，十進位制已經
明顯可見，也比同時期的巴比倫和埃及的數字系統更為先進，雖沒有代表0 的符
號，但已經有0 的概念。中國以算籌進行計算，至少在戰國時期（西元前475~
前221）已經出現，利用九九表可以很方便地進行四則運算、乘方、開方等較複
雜的運算，並可以對零、負數和分數作出表示與計算，而0 是以空位表示。一般
認為，至少在西元前4 世紀，中國就已經有了零與負數的概念。
巴比倫
位在現今伊拉克底格里斯河和幼發拉底河之間的美索不達米亞平原，早在西元前
4000 年蘇美人就在此發跡，後來的阿卡德人、巴比倫人、亞述人以及迦勒底人，
繼承並發展了蘇美人的文化。其中巴比倫人繼承了蘇美人和阿卡德人的文明成
果，建立了巴比倫帝國，把蘇美文化發揚光大，使美索不達米亞文明發展到了頂
峰。然而，巴比倫人的數學是採用六十進位制（世界上最早有進位制系統的地方，
約西元前3400 年），不同於現今通用的十進位，原本是用空位表示0，大約在西
元前300 年才開始使用兩個傾斜的楔形文字「 」來表示，原因為何？不得而知。
在西元前1900 年～前1600 年間的一塊泥板上（普林頓 322 號，現存於哥倫比
亞大學博物館），記錄了一個數表，經研究發現其中有十幾組數分別是邊長為整
數的直角三角形的邊長，說不定巴比倫人已經知道「畢氏定理」（勾股定理）了
呢！
埃及
埃及最有名的就是金字塔，大約建造於西元前5000~前4000 年，金字塔的建築
結構隱含著許多數學知識，包括圓周率、黃金比例、地球繞太陽週期、…等等。
要說當時的埃及人不知道「0」的概念，實在很難說得過去，只是可能沒有代表
0 的符號。考古學家認為，埃及人大約在西元前2000 年開始有0 的概念，而且
數學相當發達，但也僅能就到目前為止發現的資料來判定。目前對埃及數學的了
解主要是依據林特（A·H·Rhind）草卷（又稱阿默斯草卷，主要記載算術和幾何
等問題，最顯著的是單位分數的概念，現存於大英博物館）和莫斯科草卷（由於
卷首遺失，書名無法考證，現存於莫斯科博物館），兩卷紙草的年代大約在西元
前1850～前1650 年之間，相當於中國的夏代，兩份草卷當中都未提及0 的符號。
能夠確認的是埃及人採用的是十進位制，也是目前發現最早使用十進位制的文
化。
馬雅
一般認為馬雅人最早有0 的概念，比巴比倫、印度還要更早。依照中美洲編年，
馬雅的歷史分成前古典期、古典期和後古典期。前古典期（西元前1500 年~300
年）又稱形成期，曆法及文字的發明、紀念碑與建築均在此時其建立；古典期是
全盛期（約西元4 世紀~9 世紀），此時期文字、紀念碑、建築及藝術均達到鼎盛；
後古典期（約西元9 世紀~16 世紀)，此時期文化已經逐漸式微。
馬雅人的數字是由三個符號所組成：貝殼形符號(也有人說像一個眼睛或者飛碟?)
代表0、一個點代表1（印度一個點是代表0）、一條橫線代表5，他們採用的是
二十進位制。令人好奇的是，馬雅人在計算曆法時，有用到很大的單位，例如：
一個「伯克盾」等於144000 天（大約394.26 年），一個「阿托盾」等於23040000000
天（大約6312 萬年），這樣巨大的單位，通常只有在測量星際距離時才會用到。
取材自：
維基百科、百度百科、零的故事、從零開始、愛上數學、數學虛擬博物館、佛教
新聞天地、走進無限美妙的數學世界、發現新大陸-美洲古文明、馬雅數學系統

印度-阿拉伯數字
印度-阿拉伯數字就是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，一般稱為阿拉伯數字。起源於印度的「婆羅米數字」，在中世紀時傳入阿拉伯國家與歐洲。現在還在使用的三大分支是：
• 西方阿拉伯數字：流行於全世界。
• 阿拉伯文數字：流行於阿拉伯國家和西亞。
• 印度數字：古印度流傳下來的記數系統。起源
【說法一】 大約在西元500年左右，印度西北部的旁遮普是當時印度數學最先進的地區，當時天文學家阿葉彼海特已經開始使用十進制的記數方式。在西元700年左右，阿拉伯人（波斯帝國）征服了旁遮普地區後，他們發現旁遮普的數學比阿拉伯人的更為先進。為了吸收這些數學知識，他們把當地的數學家抓到首都巴格達，強迫這些數學家把印度的數學知識傳授給當地人，印度數字與計算法因此傳入阿拉伯。
【說法二】
西元771年，印度一位旅行家毛卡到了阿拉伯帝國首都巴格達時，把一部印度天文學著作《西德罕塔》獻給了哈里發國王曼蘇爾。曼蘇爾非常喜歡這本書，令人翻譯成阿拉伯文，譯本取名《信德欣德》。這部著作中應用了大量的印度數字與計算法。由於印度數字比當時阿拉伯人使用的數字計算簡單方便，因此，印度數字便被阿拉伯人廣泛採用。
發展
由於印度數字和計數法既簡單又方便，其優點遠勝過其他的計算法，所以當印度數字與計算法傳到阿拉伯後，阿拉伯的學者與商人都非常喜歡這種數字與計算法。西元825年左右，波斯數學家Al-Khwarizmi寫了一本阿拉伯文的數學著作，書中詳細說明了完整的「阿拉伯數字」系統。後來，隨著伊斯蘭教（回教）的傳播，阿拉伯人把這種數字傳入西班牙，在西元10世紀時，又由教皇熱爾貝·奧里亞克傳到了歐洲其他國家。歐洲人以為它是阿拉伯人發明的，所以稱為「阿拉伯數字」。當時歐洲人使用的是羅馬數字，印度數字要取代羅馬數字，曾經遭到基督教教會的強烈反對，他們認為這是來自「異教徒」的知識，不應該取代原有的羅馬數字。西元1120年，Al-Khwarizmi的書有了拉丁文譯本，由於「阿拉伯數
字」的演算法遠比「羅馬數字」方便，於是便在歐洲流傳開來。西元1200年左右，歐洲的學者正式採用了印度數字的符號和體系，在義大利數學家李奧納多·斐波納契的宣導下，大部分歐洲人已經開始使用阿拉伯數字，直到15世紀，已經相當普遍。當時阿拉伯數字的形狀與現代的阿拉伯數字還不完全相同，後來經過許多數學家的改進，直到十六世紀，「阿拉伯數字」的寫法才確定下來，成為現今的模樣。
「羅馬數字」沒有『0』，也不易對齊，用於演算很不方便
直到十六世紀，「阿拉伯數字」的寫法才確定下來
位於伊朗首都德黑蘭《Mirkabir科技大學》的Al-Khwarizmi雕像
趣談
現今的「阿拉伯文數字」與「阿拉伯數字」的寫法是不同的。舉例來說，4是反寫的「3」，5是一個圓圈，0則是一個點，7寫成「V」，8則是把「V」上下顛倒過來寫。為了便於記憶，在埃及的中國人編了許多口訣，如「顛三倒四，七上八下，五零不分」等等。
阿拉伯數字
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
西阿拉伯文數字
٠
١
٢
٣
٤
٥
٦
٧
٨
٩
東阿拉伯文數字
۰
۱
۲
۳
۴
۵
۶
۷
۸
۹
另外，因為阿拉伯文一律是從右向左書寫的，與現代漢語的書寫順序正好相反，但數位卻是從左向右寫。於是，中國人在讀一篇文字和數位混合的阿拉伯文章時，常常必須「左顧右盼」。
印度-阿拉伯數字的演變
取材自： 維基百科、百度百科、走進無限美妙的數學世界、嘻辣人的擺寶箱

現代人的文明病愈來愈多，尤其是癌症。為了「早
期發現，早期治療」，各項定期檢驗成了維持健康必要的
工作。王先生做了某一項癌症的檢驗，假設此項檢驗對於
罹患此種癌症的檢驗可信度高達90%，另外對於健康的人
則有10%的人可能呈現陽性反應。當王先生拿到檢驗報告
看到結果呈現陽性反應時，整個人一剎那間腦中一片空
白。心中只有一個念頭：「我得到癌症的可能，十之八九
跑不掉，這該怎麼辦呢？」

平常熱鬧的第五街，在深夜時竟傳出凶殺案！有一個遊
民橫屍街頭，警方立時調閱附近超商的錄影帶，找到了四名
可疑的嫌犯。這四名嫌犯分別是甲、乙、丙、丁四人，這四
個人案發時都在現場附近。警方憑著多年的辦案經驗幾乎可
以斷定殺人犯就是在這四人之中，但是卻一時找不到確實的
証據。於是警方請甲、乙、丙、丁四人來進行偵訊，以下是四
人的証詞：
甲：「乙是犯人！我親眼看他犯案，不會錯的！」
乙：「怎麼可能是我！一定搞錯了！偷偷告訴你，丁才是犯
人喔！」
丙：「我不知道誰是凶手！反正不是我就對了！」
丁：「什麼？我是犯人？別開玩笑了！乙本身就是一個騙
子，他說的都是謊話！」
已知這四個人中只有一個人說實話，聰明的你是否可以
幫助警方揪出真凶呢？
在數學的証明技巧中，有一種方法叫「窮舉法」：把關
係結論的一切可能情形全數列出，再証明其中只有一種情形
與假設相合，剩餘幾種情形與假設皆不合。
現在我們就利用「窮舉法」來判斷誰是凶手？
(1)假設甲是凶手：則丙、丁說的是實話，與四人中只有一人
說實話不符。
(2)假設乙是凶手：則甲、丙、丁說的是實話，與四人中只有
一人說實話不符。
(3)假設丙是凶手：則丁說的是實話，與四人中只有一人說實
話相符。
(4)假設丁是凶手：則乙、丙說的是實話，與四人中只有一人
說實話不符。
現在真相大白，當丙是凶手時，由四人的証詞中可以斷定只有丁一人說的是
實話。毫無疑問，殺死遊民的凶手就是丙！

在非洲曾經出現過了一個具有高度文明的國家：埃及。說到埃及便不能不談
到孕育出這個偉大文明的尼羅河，尼羅河兩岸肥沃的土地上佈滿了一塊塊農田。
但是每年從六月到九月，尼羅河水便會泛濫，洪水淹沒了河流兩岸的谷地。每當
尼羅河的洪水退去，河水氾濫的區域便留下一層肥沃的淤泥，剛好提供肥料給農
作物。但是，洪水也把所有土地的界線抹去，所以每年都得重新測量田地，使原
來的地主能得到同樣面積的土地。由於埃及實施階級制度，王族、官吏、地主、士兵等
人全都依賴農民種田，他們再向農民按田地面積徵收租
稅，這使測量土地面積成為國家每一年的大事。長期積累
的土地測量知識逐漸發展成為幾何學，“幾何”這一個名
稱是從希臘傳出，原意即是指“土地測量”。所以古埃及
的人很早就掌握了矩形、三角形、梯形以及圓等面積的計
算，就是因為他們早就開始進行這種工作的緣故。
埃及的祭司在鋪設神廟的地磚時得到了啟發，選擇了
邊長一米的正方形面積作為測量面積的單位：一平方米。
一塊土地可以鋪滿幾個這樣大小的正方形，就稱它的面積
有幾平方米。求長方形面積只需要用尺量一量它的長寬各
是幾米，長乘以寬就是長方形面積。
後來有人發現一塊長方形的布可以剪成兩個相等的
直角三角形，面積分別是這個長方形面積的一半。反過來
說，兩個相同的直角三角形也可以組成長方形。因而得出
了計算直角三角形面積的法則：直角三角形的面積等於長
乘以寬除以二（相當於直角的兩鄰邊長乘積除以二）。在
實際測量中，又發現求任意三角形面積的法則：任意三角
形的面積等於底乘以高除以二。
知道任意三角形的面積求法很有用，有些土地很難劃
成方形測量，但是多邊形的土地一定可以切割成幾個三角
形的組合，此時就能使用三角形面積公式來求多邊形土地
的面積了。
但是在測量中還是會有新問題出現，例如人們不可能
把一個圓切割成若干個小塊，而每一塊都是標準的三角
形。這就導致了求圓面積問題的研究。埃及曾有一個公式：圓的面積等於3.16
乘以半徑的平方。以目前來看這當然是有問題的，但是就當時埃及人的實際應用
上來說，已經相當不錯了喔！

夜市神秘的魔術師
有一天，阿忍和小藍去逛夜市，他們來到一個變魔術的攤位。
魔術師說：「小朋友，我們來玩一個遊戲，玩一次只要10 元，如果你贏了我賠你
50 元，如果你輸了，這10 元就歸我。」
小藍說：「不要，你一定會騙人。」
阿忍說：「沒關係嘛！才10 元，賠50 耶！五次贏一次就沒輸了。來吧！怎麼玩？」
魔術師說：「你心裡隨便想一個整數，無論你想什麼數，不用告訴我那個數是什
麼，我都可以把它變成9。」
阿忍說：「怎麼可能，我不信。」
魔術師說：「試試看囉！」

只要有學過因倍數的同學應該都知道：假如兩個正整數，
除了１之外沒有其他的公因數，那我們就稱這兩個正整數
互質。如果是三個正整數中任意兩個數都互質，就稱這三
個正整數兩兩互質。現在我們要問的是：三個連續奇數一定會兩兩互質
嗎？在回答這個問題之前，必須先建立幾個觀念：
1.一個奇數的所有因數，必定也是奇數。這是因為奇
數無法被2 整除，當然奇數的因數也無法被2 整除。例
如21 的正因數有1、3、7、21，它們都是奇數。
2.兩個以上的正整數，每一個數都是其最大公因數的
倍數。例如12 與18 的最大公因數為6，所以12 與18
皆是6 的倍數。
3.如果有兩個數皆為某數ｋ的倍數，那這兩個數的差
也一定是某數ｋ的倍數。例如27 是3 的倍數，36 也是3
的倍數，所以27 與36 的差是9，也一定是3 的倍數。
有了這些觀念，我們就可以開始探討了。首先來看任
意兩個連續奇數的差為2，所以2 為這兩個奇數最大公因
數的倍數，反過來說，這兩個奇數的最大公因數是2 的
因數，可能為1 或2。但是兩個奇數的最大公因數必為奇
數， 2 不符合條件，所以兩數的最大公因數為1，由此
可知，任意兩個連續奇數必定互質。
接下來看三個連續奇數中，間隔一個奇數的兩奇數的差為
4，而4 為這兩個奇數最大公因數的倍數，反過來說，這
兩個奇數的最大公因數是4 的因數，可能為1、2 或4。
同樣地，此兩數的最大公因數必為奇數，4 的因數中只有1 符合條件，由此可推
得，三個連續奇數中，間隔一個奇數的兩奇數必定互質。
現在我們可以肯定地回答：三個連續奇數一定會兩兩互質。