小柯的文章貼簿

只要有學過因倍數的同學應該都知道：假如兩個正整數，
除了１之外沒有其他的公因數，那我們就稱這兩個正整數
互質。如果是三個正整數中任意兩個數都互質，就稱這三
個正整數兩兩互質。現在我們要問的是：三個連續奇數一定會兩兩互質
嗎？在回答這個問題之前，必須先建立幾個觀念：
1.一個奇數的所有因數，必定也是奇數。這是因為奇
數無法被2 整除，當然奇數的因數也無法被2 整除。例
如21 的正因數有1、3、7、21，它們都是奇數。
2.兩個以上的正整數，每一個數都是其最大公因數的
倍數。例如12 與18 的最大公因數為6，所以12 與18
皆是6 的倍數。
3.如果有兩個數皆為某數ｋ的倍數，那這兩個數的差
也一定是某數ｋ的倍數。例如27 是3 的倍數，36 也是3
的倍數，所以27 與36 的差是9，也一定是3 的倍數。
有了這些觀念，我們就可以開始探討了。首先來看任
意兩個連續奇數的差為2，所以2 為這兩個奇數最大公因
數的倍數，反過來說，這兩個奇數的最大公因數是2 的
因數，可能為1 或2。但是兩個奇數的最大公因數必為奇
數， 2 不符合條件，所以兩數的最大公因數為1，由此
可知，任意兩個連續奇數必定互質。
接下來看三個連續奇數中，間隔一個奇數的兩奇數的差為
4，而4 為這兩個奇數最大公因數的倍數，反過來說，這
兩個奇數的最大公因數是4 的因數，可能為1、2 或4。
同樣地，此兩數的最大公因數必為奇數，4 的因數中只有1 符合條件，由此可推
得，三個連續奇數中，間隔一個奇數的兩奇數必定互質。
現在我們可以肯定地回答：三個連續奇數一定會兩兩互質。