小柯的文章貼簿

 

The last major event of the year is the Moon Festival, also knows as the Mid-Autumn Festival. This festival takes place on the 15^th of August on the lunar calendar. On the night of the full moon people get together with their family and eat “moon cakes” and pomelos. Since the festival is in honor of the moon, families often look up at the moon together.
There are many different Chinese and Taiwanese legends about the moon. While Westerners may mention a man on the moon, Taiwanese people will talk about a woman called Chang-e or the Jade Rabbit. Over time, it has become popular for people to give moon cakes to their relatives and friends during the Mid-Autumn Festival. Traditional moon cakes are made using egg yolks and flour. However, nowadays moon cakes come in many different flavors, including almond, chocolate,and pineapple. Some even come filled with ice cream!

有受過中學教育的人都知道負數是比０小的數，也
都習慣了包含負數的運算。事實上，一直到十八世紀，許
多歐洲的數學家都還無法接受「負數」的觀念。他們認為
０就表示「什麼都沒有」，所以怎麼會有比「什麼都沒有」
還小的數呢？連當時的大數學家巴斯卡、歐拉也對負數抱
著質疑的態度。印度的數學家在西元七世紀的時候，便知道使用「負
數」的概念，他們把財產表示成「正數」，負債表示成「負
數」，還能進行簡易的正負數加減。
然而「負數」最早出現，是在西元前兩世紀中國的西
漢時代。在那一個時代並沒有計算機，人們都是用一種叫
做『算籌』的工具來計算。在當時，古人就懂得利用黑色
的算籌表示正數，用紅色的算籌表示負數了。
漢代著名的數學書籍《九章算術》中，不但提到了正
負數的概念，同時還明定了正負數的加減運算法則：「同
名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。異名相除，
同名相益，正無入正之，負無入負之。」
前四句是減法法則：
同名相除：m-n = m-n ，(−m) –( −n) = −(m-n)，當m≥n>0
異名相益：m -( −n) = m+n ，(−m) - n = −(m+n)
正無入負之：0-(+m) = −m
負無入正之：0-(−m) = +m
後四句是加法法則：
異名相除：m +( −n) = m-n ，(−m )+ n = −(m-n)，當
m≥n>0
同名相益：m + n = m+n ，(−m) +( −n) = −(m+n)
正無入正之：0+(+m) = +m
負無入負之：0+(−m) = −m
當十八世紀大部分的歐洲數學家都還無法接受「負數」的時候，漢代卻早已
發展出相當完整的負數概念及運 算法則，整整比歐洲進步了兩千年喔！
歐洲一直到十七世紀，法國數學家笛卡兒引進坐標系後，負數獲得了幾何上
的定位，才逐漸被人們認可。十八世紀後，負數在方程式中才逐漸獲得了合理的
地位。一開始負數的表示有多種不同的方式，近代才開始採用現在的正負數符號
形式，如－3，－１，０，＋１，＋５，並發展成為現在使用的正負數。

我們知道在算術運算體系中，乘法和除法是互為逆運算的概念，例如：2 的
3 倍是6，寫成2×3=6；把6 分成3 份，每一份是2，寫成6÷3=2。假如把0 當除
數，例如：6÷0=某數，那麼這個「某數」×0 應該要等於6，否則除法和乘法互
為逆運算的這個法則就會被打破。但是，沒有任何一個數乘以0 會等於6，也就
是說，像
0
6
這樣的數是不存在的。那麼，
0
0
呢？考慮0×3=0 的情況，0÷3=0 是可以的，因為把0 分成3 份，每
一份還是0；但是，0÷0=3 就很奇怪了，因為假如0÷0 可以是3，那麼從0×2=0
的算式中，也可以得到0÷0=2，那麼就會得到2=3 這種奇怪的結果，所以
0
0
在算
術運算體系中，是不被允許的，因此，0 是不能當成除數的。
婆羅摩歷算書
印度數學家婆羅摩笈多（西元598~668 年）是最早提出有關0 的計算規則的數學
家，他曾經寫過四本有關數學和天文學的書，其中最著名的是《婆羅摩歷算書》
（西元628 年），這是目前所知第一部將0 當作一個普通數字來使用的著作，當
中還提到負數的概念及運算、方程、級數、方根，以及著名的圓內接四邊形的面
積公式等。不過婆羅摩笈多認為0÷0=0，這是不對的，另一個數學家摩訶吠羅（西
元800~870 年）曾試圖糾正婆羅摩笈多的錯誤，但沒有成功，後來婆什迦羅第二
（西元1114~1185年）認為 
0
n
，這雖然在另一層意義上有一定的道理（
b
a
的
極限值），但仍然會產生許多矛盾的結果。

「0」這個數字一直被人們稱為阿拉伯數字，但目前的考古資料顯示，它應該誕
生在古代的印度。原本印度人是用一點「．」表示0，後來如何演變成用一個圓
圈表示，已經不可考，目前最早有「0」這個符號出現的紀錄，是在印度的瓜廖
爾石碑上（西元876 年）。據說0 的起源是受到印度佛教大乘空宗的影響，大乘
空宗流行於西元3~6 世紀的古代印度，當印度產生十進位制記數法時，他們把0
稱為Sunya（漢語譯為「舜若」），原意是「空」，也就是什麼都沒有，所以就
用一個圓圈圈表示「一切皆空」。後來印度數字傳到阿拉伯，他們把0 唸成sifr，
阿拉伯人又把印度數字傳到歐洲，有個義大利數學家李奧納多·斐波納契把0 稱
為zefirus（原意是「微弱的西風」，可能是什麼都沒有，就像微風吹過一樣，因
此稱之），後來被義大利人唸成zevero，最後簡化成了zero。瓜廖爾石碑
西元876 年，在印度中央邦最北的一個城市瓜廖爾發現一個石碑，石碑上記載著
貢獻神廟的花圈數量，很清晰可見的用圓圈圈表示0，這是目前發現最早用圓圈
表示0 的紀錄。西元8 世紀以後，印度數字先後傳入阿拉伯世界，再傳到歐洲，
13 世紀初，李奧納多·斐波納契的《算盤書》裏已有包括0 在內的完整的印度數
字的介紹。
「0」這個數字雖然誕生於印度，但最早用符號表示0 的卻未必是印度人…
巴克沙利手稿
西元1881 年夏，在今巴基斯坦西北部距離白沙瓦約80 公里的一個叫巴克沙利的
村莊（該地區古代屬於印度），一個農人在挖地時發現了在樺樹皮上書寫著許多
的文字，經考古學家研究，上面記載的是大約西元前2~3 世紀的數學（也稱耆那
教數學），考古學家把它稱為「巴克沙利手稿」。手稿中出現了完整的十進制數碼，
但是，零卻是用一個實心的點表示。手稿當中還涉及到分數、平方數、數列、比
例、收支與利潤計算、級數求和甚至代數方程等等內容，顯示當時的數學已經相
當發達。這是印度最早有用符號表示0 的紀錄，只是表示的方式是用一個點，而
不是圓圈圈。
中國
中國數學起源於仰紹文化（西元前5000 年~前3000 年），許多陶器都刻有代表數
字的符號，到了商朝（約西元前16 世紀~前11 世紀）的甲骨文，十進位制已經
明顯可見，也比同時期的巴比倫和埃及的數字系統更為先進，雖沒有代表0 的符
號，但已經有0 的概念。中國以算籌進行計算，至少在戰國時期（西元前475~
前221）已經出現，利用九九表可以很方便地進行四則運算、乘方、開方等較複
雜的運算，並可以對零、負數和分數作出表示與計算，而0 是以空位表示。一般
認為，至少在西元前4 世紀，中國就已經有了零與負數的概念。
巴比倫
位在現今伊拉克底格里斯河和幼發拉底河之間的美索不達米亞平原，早在西元前
4000 年蘇美人就在此發跡，後來的阿卡德人、巴比倫人、亞述人以及迦勒底人，
繼承並發展了蘇美人的文化。其中巴比倫人繼承了蘇美人和阿卡德人的文明成
果，建立了巴比倫帝國，把蘇美文化發揚光大，使美索不達米亞文明發展到了頂
峰。然而，巴比倫人的數學是採用六十進位制（世界上最早有進位制系統的地方，
約西元前3400 年），不同於現今通用的十進位，原本是用空位表示0，大約在西
元前300 年才開始使用兩個傾斜的楔形文字「 」來表示，原因為何？不得而知。
在西元前1900 年～前1600 年間的一塊泥板上（普林頓 322 號，現存於哥倫比
亞大學博物館），記錄了一個數表，經研究發現其中有十幾組數分別是邊長為整
數的直角三角形的邊長，說不定巴比倫人已經知道「畢氏定理」（勾股定理）了
呢！
埃及
埃及最有名的就是金字塔，大約建造於西元前5000~前4000 年，金字塔的建築
結構隱含著許多數學知識，包括圓周率、黃金比例、地球繞太陽週期、…等等。
要說當時的埃及人不知道「0」的概念，實在很難說得過去，只是可能沒有代表
0 的符號。考古學家認為，埃及人大約在西元前2000 年開始有0 的概念，而且
數學相當發達，但也僅能就到目前為止發現的資料來判定。目前對埃及數學的了
解主要是依據林特（A·H·Rhind）草卷（又稱阿默斯草卷，主要記載算術和幾何
等問題，最顯著的是單位分數的概念，現存於大英博物館）和莫斯科草卷（由於
卷首遺失，書名無法考證，現存於莫斯科博物館），兩卷紙草的年代大約在西元
前1850～前1650 年之間，相當於中國的夏代，兩份草卷當中都未提及0 的符號。
能夠確認的是埃及人採用的是十進位制，也是目前發現最早使用十進位制的文
化。
馬雅
一般認為馬雅人最早有0 的概念，比巴比倫、印度還要更早。依照中美洲編年，
馬雅的歷史分成前古典期、古典期和後古典期。前古典期（西元前1500 年~300
年）又稱形成期，曆法及文字的發明、紀念碑與建築均在此時其建立；古典期是
全盛期（約西元4 世紀~9 世紀），此時期文字、紀念碑、建築及藝術均達到鼎盛；
後古典期（約西元9 世紀~16 世紀)，此時期文化已經逐漸式微。
馬雅人的數字是由三個符號所組成：貝殼形符號(也有人說像一個眼睛或者飛碟?)
代表0、一個點代表1（印度一個點是代表0）、一條橫線代表5，他們採用的是
二十進位制。令人好奇的是，馬雅人在計算曆法時，有用到很大的單位，例如：
一個「伯克盾」等於144000 天（大約394.26 年），一個「阿托盾」等於23040000000
天（大約6312 萬年），這樣巨大的單位，通常只有在測量星際距離時才會用到。
取材自：
維基百科、百度百科、零的故事、從零開始、愛上數學、數學虛擬博物館、佛教
新聞天地、走進無限美妙的數學世界、發現新大陸-美洲古文明、馬雅數學系統

印度-阿拉伯數字
印度-阿拉伯數字就是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，一般稱為阿拉伯數字。起源於印度的「婆羅米數字」，在中世紀時傳入阿拉伯國家與歐洲。現在還在使用的三大分支是：
• 西方阿拉伯數字：流行於全世界。
• 阿拉伯文數字：流行於阿拉伯國家和西亞。
• 印度數字：古印度流傳下來的記數系統。起源
【說法一】 大約在西元500年左右，印度西北部的旁遮普是當時印度數學最先進的地區，當時天文學家阿葉彼海特已經開始使用十進制的記數方式。在西元700年左右，阿拉伯人（波斯帝國）征服了旁遮普地區後，他們發現旁遮普的數學比阿拉伯人的更為先進。為了吸收這些數學知識，他們把當地的數學家抓到首都巴格達，強迫這些數學家把印度的數學知識傳授給當地人，印度數字與計算法因此傳入阿拉伯。
【說法二】
西元771年，印度一位旅行家毛卡到了阿拉伯帝國首都巴格達時，把一部印度天文學著作《西德罕塔》獻給了哈里發國王曼蘇爾。曼蘇爾非常喜歡這本書，令人翻譯成阿拉伯文，譯本取名《信德欣德》。這部著作中應用了大量的印度數字與計算法。由於印度數字比當時阿拉伯人使用的數字計算簡單方便，因此，印度數字便被阿拉伯人廣泛採用。
發展
由於印度數字和計數法既簡單又方便，其優點遠勝過其他的計算法，所以當印度數字與計算法傳到阿拉伯後，阿拉伯的學者與商人都非常喜歡這種數字與計算法。西元825年左右，波斯數學家Al-Khwarizmi寫了一本阿拉伯文的數學著作，書中詳細說明了完整的「阿拉伯數字」系統。後來，隨著伊斯蘭教（回教）的傳播，阿拉伯人把這種數字傳入西班牙，在西元10世紀時，又由教皇熱爾貝·奧里亞克傳到了歐洲其他國家。歐洲人以為它是阿拉伯人發明的，所以稱為「阿拉伯數字」。當時歐洲人使用的是羅馬數字，印度數字要取代羅馬數字，曾經遭到基督教教會的強烈反對，他們認為這是來自「異教徒」的知識，不應該取代原有的羅馬數字。西元1120年，Al-Khwarizmi的書有了拉丁文譯本，由於「阿拉伯數
字」的演算法遠比「羅馬數字」方便，於是便在歐洲流傳開來。西元1200年左右，歐洲的學者正式採用了印度數字的符號和體系，在義大利數學家李奧納多·斐波納契的宣導下，大部分歐洲人已經開始使用阿拉伯數字，直到15世紀，已經相當普遍。當時阿拉伯數字的形狀與現代的阿拉伯數字還不完全相同，後來經過許多數學家的改進，直到十六世紀，「阿拉伯數字」的寫法才確定下來，成為現今的模樣。
「羅馬數字」沒有『0』，也不易對齊，用於演算很不方便
直到十六世紀，「阿拉伯數字」的寫法才確定下來
位於伊朗首都德黑蘭《Mirkabir科技大學》的Al-Khwarizmi雕像
趣談
現今的「阿拉伯文數字」與「阿拉伯數字」的寫法是不同的。舉例來說，4是反寫的「3」，5是一個圓圈，0則是一個點，7寫成「V」，8則是把「V」上下顛倒過來寫。為了便於記憶，在埃及的中國人編了許多口訣，如「顛三倒四，七上八下，五零不分」等等。
阿拉伯數字
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
西阿拉伯文數字
٠
١
٢
٣
٤
٥
٦
٧
٨
٩
東阿拉伯文數字
۰
۱
۲
۳
۴
۵
۶
۷
۸
۹
另外，因為阿拉伯文一律是從右向左書寫的，與現代漢語的書寫順序正好相反，但數位卻是從左向右寫。於是，中國人在讀一篇文字和數位混合的阿拉伯文章時，常常必須「左顧右盼」。
印度-阿拉伯數字的演變
取材自： 維基百科、百度百科、走進無限美妙的數學世界、嘻辣人的擺寶箱

從事路跑要能持久，培養興趣之外，尤需避免受傷。以下是NIKE體適能大使索南東珠（Sonam）提出的「跑步十大錯誤」，供跑友自我檢視，避免犯錯。 
★呼吸太淺：節奏平穩及輕鬆的呼吸可以使您提升的運動表現。請切記跑步時一定要保持深呼吸，建議最好用鼻子吸氣，吸到腹部再用嘴巴將氣慢慢吐出來。腹式呼吸可以讓您在跑步或者從事任何其他運動時達到全身放鬆及提升精力的作用。

　　任何大宗採購都是一項挑戰。其中，了解您需要並作出正確決定可能是最困難的部分。所以我們成立了三星知識中心，囊括所有您想瞭解的專業顯示器的場所，幫助您聰明採購。

知識就是力量

　　大宗採購無論有多麼激動人心，都具有一定的挑戰。研究您所需要瞭解的所有資訊，並在適當的價格內作出正確的決定可能是最困難的部分。三星了解到大家對於資訊的渴望，成立了知識中心，囊括所有您想瞭解的專業顯示器的場所，幫助您輕鬆聰明採購。
　　知識中心包含有用的「白皮書」，提供豐富的統計及數據資料和產品功能資訊。知識中心內甚至還有顯示器使用的相關資訊、消費者評比，以及商務級顯示器的資訊，讓您輕鬆瞭解哪些產品對您的公司是最好的選擇。

一般人所習慣的單向思考就如同大腦雖有成千上萬的腦細胞卻動作一致，從外表看腦力就好像只剩下一個細胞在作用。
而“獨立思考”就是讓腦細胞發揮獨立個體的作用，每個細胞都能同時往不同的方向思考，以達面面俱到。
就如同設計馬路上的紅綠燈，不能單就考慮這個路口的秒數，要將視野拉高看到全貌，做系統性的思考，要同時思考到附近的幾個路口，車流量、上下班時段、人口數……等，甚至是幾公里外的高速公路交流道的車流量，都有可能影響這個路口。
所以“獨立思考”也可說是“多向思考”或“系統思考”。

　「思考是一種習慣」，從小就要養成。有一句古諺：「十月懷胎、三年哺乳、十年教養」這句老祖宗的智慧告訴了我們，子在剛出生的前三年要好好地照顧養育他，打好身體健康的基礎、給予安全需求的照護，之後的十年才是教養最重要的時期，為所有會影響我們一輩子的習慣，都是在4-13歲這十年中所養成的，且多數的習慣，都是在不知不覺中形成的，一旦養成將很難改變。
　　有了良好的思考習慣，頭腦靈活度愈高，才能進一步拓展思考應用面，全面提升解決問題的能力！腦神經科學的研究也指出，人類出生後神經元不斷發育增生，每個神經元都儘可能地與其他神經元建立聯繫亦即形成「突觸」，大量增長的突觸連結因為「刺激與學習」等因素而進行「修剪」，保留「被強化的」以增加神經元聯繫的效率而刪減「沒有用的」突觸，突觸的修剪增加了神經元聯繫的效率，如此反覆連結與修剪至青春期。